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樓主 |
發表於 2020-3-1 22:35:31
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本帖最後由 任人 於 2020-3-2 12:16 編輯
寫的粗粗。
1+2 =3
這很容易理解。但如果我們要寫一條 1+2+2=5 的算式,要怎樣寫?
P : ((1+2)+2)=5?
P' : (1+(2+2))=5?
要判斷上述那個寫法才是正確,其實要視乎採用什麼判準。譬如 從結果來判定,兩者結果都是5,那我們都可以說兩者是「同義」。1
又可以問,電腦看到 1+2+2 的算數,其實是按P來理解,或按P'來理解呢?一般來說,不少都會按P來理解(印象中是left recursive,左結合,括號從左邊開始畫)
因為電腦每次只能處理一個運算(x+2),所以會將P 分解成很多個小運算來說理。
比如 f(x)= x+2
那P就會寫成 f ( f(1) ) =5
因為 f(x) =x+2, 所以 f(1) = 1+2
運算結果是 f( f(1) ) = f( 1+2 ) = f( 3 )= 3+2 = 5
較為古老一點的λ演算寫法有點不同,f(x)=x+2 會寫成 λx.x+2,可以說是語法不同。
那自我指涉,是什麼一回事呢?初學者說,x 是代入數字,f(1),但其實 x 可以代入 函數本身,所以可以出現 f( f(1) ),乃至 f(f(f(f(1)))) 。
那再玩多一個花樣。
F(n) = F(n-1) + F(n-2) with seed values F(0) = 0 and F(1) = 1.
在一般情況下,只要n代入 不是0和1,這個函數就能不停地「自我分解」。
F(4)= F(3)+F(2) = F(2)+F(1) + F(1)+F(0) = F(1)+F(0) +F(1) + F(1)+F(0) =3
其實遞迴的概念是什麼?就是函數(function) 會自己呼叫自己。 有時翻譯作遞歸函數,因為又「回歸」自身了。
語言上常見的通例是:
「從前有座山,山裡有座廟,廟里有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?「從前有座山,山裡有座廟,廟里有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?『從前有座山,山裡有座廟,廟里有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?……』」
設 講故事() = 從前有座山,山裡有座廟,廟里有個老和尚,正在給小和尚講故事呢!故事是什麼呢?
那麼情況就會像: 講故事(講故事(講故事()))
講故事(講故事(講故事()))
=講故事(講故事( 從前有座山⋯⋯故事是什麼呢?))
=講故事( 從前有座山⋯⋯故事是什麼呢? 從前有座山⋯⋯故事是什麼呢?)
=從前有座山⋯⋯故事是什麼呢?從前有座山⋯⋯故事是什麼呢?從前有座山⋯⋯故事是什麼呢?
我們可能會問,咦?函數不是用來運算嗎?舉一個例 f(x) =2,那不論 f(1), f(3) 都會出 2的結果。甚至可以定義不接收變量的函數: f() =2。那f() 的功能更像是「列印 2 這個數字」。上述 講故事() 就像列印 講故事的句子出來。
再換一角度,叔本華說: Man can do what he wants but he cannot want what he wants。
翻譯作「一個人可以做他想要做的,但不能意志他想要意志的。」
那這種 意志他想要意志的,粗略可以看作 want ( want())。
如果叔本華要定義 want(x) 函數,大概會注明 want(x) 不接受 x 為其本身,即 x不可以為 want(),want(want())是不合法的。
再看羅素的理髮師悖論:
「小城裡的理髮師放出豪言:他只為,而且一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子。
但問題是:理髮師該為自己刮鬍子嗎?如果他為自己刮鬍子,那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子;但如果他不為自己刮鬍子,同樣按照他的豪言「一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。」
這個悖論所揭示的問題,就是我們在設計定義一個函數時,往往沒有設想過 這個函數呼召自己的後果,這就是「自我指涉」的一種表現,表現在函數為 遞歸函數的自我呼召。
有時「螳螂捕蟬,黃雀在後」,也可加入自我指涉的元素,變成這種伏上伏的劇本:
甲:「哈哈,我已經猜到你會這樣做!」
乙:「哈哈,我已經猜到你會猜到我會這樣做!」
印象中李生在一本書中曾提過,甲者是第一重,乙者就是第二重,屬於「後設」。
最後略比喻一下哥德爾不完備原理的自我指涉問題。
假設有一機器,這部真理機器能吞紙條,造物者聲稱它能判定所有真的句子,並列印判定為「真」的紙條(簡稱吐出)。
比如你塞了一張寫着「今天沒有下雨」的紙條,如果今天沒有下雨,它會吐出這張紙條。如果下了雨,它會沒回應。
有人想挑戰造物者,準備了一張寫着 「我不能列印此句」的紙條。
甲:如果機器吐出這張紙,即是判定「我不能列印此句」此句為真。但它在「列印出這張紙條」的行為,正正違反了「我不能列印此句」的內容。那這句話還應該判定為真嗎?
乙:若機器不吐出這張紙,判定「我不能列印此句」此句為假,邏輯上即是「我能列印此句」為真。但如果「我能列印此句」為真,機器卻不透過「列印紙條」來告訴我們「我能列印此句」為真,那這部機就不能聲稱它能「判定所有真的句子」了,造物者要丟臉了。
這部真理機如果選擇乙的行動,那它就無法吐出所有為真的句子了,稱之為「不完備」。若選擇甲,那它就會吐出了一些為假的句子,與它聲稱的功效「不一致」。吐還是不吐?
其實真理機若有人性,想必也覺得窘迫,在乙的情況,它知道句子內容本來為假。但它一嘗試透過「列印」的行為來告訴人這是假的,它的行為卻將句子真假值改為真了。它只能沉默,但沉默就暗示它認為這句子為假。最好是造物者為它設計一張嘴來申冤⋯⋯2
在哥德爾的詰難裡,真理機就是「數學系統」,列印就是「推演」。只要數學系統是倚賴「推演」的方式來訴說真理,就存在一些真理是無法透過「推演」來判斷真假。(在電腦科學來說,圖靈機的停機/判定問題其實都是異質同功。)
這種自我指涉的思考方式,其實還可以放在,比如有沒有 「比我更我的存在」?易學裡象中的象?理中的理?五行中互藏五行?
注:
1,視乎怎樣定義「同義」,比如用演算結果的同一性(5=5 )
☰天
☲火
同
人
2,當年在易卦得出的是象是天火同人卦六二(由下數上第二,斷開兩截)的「同人于宗,吝」。大家都是同一個宗派,使用同一種招式,所以就繼承了相同的缺陷(大家都繼承了用「推演」來判定真假,所以也囿於「推演」的局限性)。用象數來說,離中虛☲(中間兩斷為一陰),離☲代表智慧、文明,這種判定「文明」能向外照明,卻不能照及自身,不能照明涉及自我指涉的問題。陰動變陽,也只能化成乾卦☰九二的「潛龍勿用」。反而六二陰爻上應九五陽爻,火上炎於天,反是出路。
乾為先天三陽,離為後天有陰,陰氣代表「有所不能」。其實「同宗」遇上了困難,就能考慮到別宗求問。同人卦辭「同人于野,亨,利涉大川,利君子貞。
」,到野外去找其他人幫忙,君子就要有這種氣量胸襟,才是「同人」卦名:「與人和同」,「大同」的大義。
離卦相應的思考方式 所處理不到的問題,可能要在坎卦處求,或回到乾卦。
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